11367. Вокруг треугольника ABC
описана окружность. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
диаметрально противоположны точкам A
, B
, C
соответственно; A_{0}
, B_{0}
, C_{0}
— середины сторон BC
, AC
, AB
соответственно. Докажите, что прямые A_{1}A_{0}
, B_{1}B_{0}
, C_{1}C_{0}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда AHCA_{1}
— параллелограмм (см. задачу 173), поэтому середина его диагонали A_{1}H
совпадает с серединой A_{0}
стороны BC
. Значит, прямая A_{1}A_{0}
проходит через точку H
. Аналогично для прямых B_{1}B_{0}
и C_{1}C_{0}
. Следовательно, эти три прямые пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника ABC
.