11370. Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
проведена прямая, пересекающая сторону AB
в точке M
, а сторону CD
— в точке N
. Через точки M
и N
проведены прямые, соответственно параллельные CD
и AB
и пересекающие диагонали AC
и BD
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что BE\parallel CF
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
, прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
, а прямые ME
и NF
— в точке Q
. Поскольку NF\parallel AB
и ME\parallel CD
, четырёхугольник PMQN
— параллелограмм. Точка O
лежит на его диагонали MN
, прямая CE
, проходящая через точку O
пересекает его противоположные стороны QM
и PN
, а прямая BF
, также проходящая через точку O
, пересекает противоположные стороны PM
и QN
. Значит, BE\parallel CF
(см. задачу 4293).