11373. На продолжениях сторон AB
и BC
за точку B
отложены отрезки соответственно BD=BC
и BF=AB
. Докажите, что точки A
, C
, D
и F
лежат на одной окружности, центр которой находится на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Поскольку BD\cdot BA=BC\cdot BF
, точки A
, C
, D
и F
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Пусть O
— центр этой окружности, а \angle ADC=\alpha
. Тогда AOC
— центральный угол, соответствующий вписанному углу ADC
. Значит, \angle AOC=2\alpha
. При этом точки O
и B
лежат по одну сторону от прямой AC
и \angle ABC=2\alpha
как внешний угол равнобедренного треугольника CBD
. Значит, точки A
, B
, C
и O
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно, точка O
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.