11384. Дан треугольник ABC
, причём AB=AC
и \angle A=80^{\circ}
. Вне треугольника ABC
взята такая точка P
, что \angle PBC=\angle PCA=30^{\circ}
и отрезок PB
пересекает сторону AC
. Найдите \angle PAC
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Указание. См. задачу 1052.
Решение. Пусть M
— точка внутри треугольника ABC
, для которой \angle MBC=30^{\circ}
и \angle MCB=10^{\circ}
. Тогда треугольник AMC
равнобедренный, \angle CAM=\angle MAC=70^{\circ}
(см. задачу 1052).
Из треугольника BPC
находим, что
\angle BPC=180^{\circ}-\angle PBC-\angle BCB=180^{\circ}-30^{\circ}-(\angle ACB+\angle ACP)=
=180^{\circ}-30^{\circ}-80^{\circ}=70^{\circ}=\angle MAC.
Из точек A
и P
, лежащих по одну сторону от прямой CM
, отрезок CM
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, P
, C
и M
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle PAC=\angle CMP=\angle PBC+\angle BCM=30^{\circ}+10^{\circ}=40^{\circ}.