11387. Биссектрисы углов трапеции делят каждое из оснований на три равные части. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 1.
Ответ. \frac{9}{\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть AD
— большее основание трапеции ABCD
, биссектрисы углов при вершинах A
и D
пересекают меньшее основание BC
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно, а биссектрисы углов при вершинах B
и C
пересекают большее основание в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно. При этом возможен только случай, когда AB_{1}=B_{1}C_{1}=DC_{1}
и BD_{1}=A_{1}D_{1}=A{1}C
.
Докажем, например, что не может быть трапеции, в которой AB_{1}=B_{1}C_{1}=DC_{1}
и BA_{1}=A_{1}D_{1}=D_{1}C
, т. е. когда и биссектрисы углов A
и D
, и биссектрисы углов B
и C
пересекаются вне трапеции. Действительно, поскольку \angle BAB_{1}=\angle DAB_{1}=\angle AB_{1}B
, треугольник ABB_{1}
равнобедренный, поэтому
AB=BA_{1}=A_{1}D_{1}=D_{1}C=a~\mbox{и}~CD=CD_{1}=a.
Аналогично,
CD=CD_{1}=A_{1}D_{1}=BA_{1}~\Rightarrow~AB_{1}=B_{1}C_{1}=C_{1}D_{1}=CD=a.
Тогда
AB=CD=a~\mbox{b}~BC=AD=3a,
т. е. ABCD
— параллелограмм. Противоречие (трапеция не является параллелограммом).
Аналогично для случая, когда внутри трапеции пересекаются и биссектрисы углов A
и D
, и биссектрисы углов B
и C
.
Таким образом, получаем равнобедренную трапецию, в которой BC=\frac{3a}{2}
, AB=CD=CD_{1}=a
и AD=3AB_{1}=3a
. Пусть CH
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1021)
DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{6a-3a}{4}=\frac{3}{4}a.
По теореме Пифагора
CD^{2}-DH^{2}=CH^{2},~\mbox{или}~a^{2}-\frac{9}{16}a^{2}=1,
откуда a=\frac{4}{\sqrt{7}}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{6a+3a}{4}\cdot1=\frac{9}{4}a=\frac{9}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{9}{\sqrt{7}}.