11390. Даны прямая l
и две точки A
и B
по одну сторону от неё. Найдите на прямой l
такую точку M
, для которой AM^{2}+BM^{2}
достигает наименьшего значения.
Ответ. M
— проекция середины AB
на прямую l
.
Решение. Пусть M
— точка на прямой l
, DM
— медиана треугольника ABM
. Тогда (см. задачу 4014)
DM^{2}=\frac{1}{4}(2MA^{2}+2MB^{2}-AB^{2})
(см. задачу 4014), откуда
MA^{2}+MB^{2}=2DM^{2}+\frac{1}{2}AB^{2}.
Следовательно, сумма MA^{2}+MB^{2}
достигает наименьшего значения в случае, когда медиана DM
наименьшая, т. е. когда M
совпадает с проекцией M_{0}
точки D
на прямую l
.