11391. Окружность касается равных сторон AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
. Пусть M
— точка касания окружности со стороной AB
, N
— точка пересечения окружности с основанием BC
. Найдите AN
, если AM=a
, BM=b
.
Ответ. \sqrt{a(a+2b)}
.
Решение. Пусть AD
— высота треугольника ABC
, точка N
лежит на отрезке BD
, а K
— вторая точка пересечения окружности с основанием BC
. Тогда по теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
b^{2}=BM^{2}=BN\cdot BK=(BD-DN)(BD+DK)=(BD-DN)(BD+DN)=
=BD^{2}-DN^{2}=(AB^{2}-AD^{2})-DN^{2}=(a+b)^{2}-AD^{2}-DN^{2}.
Значит,
AN^{2}=AD^{2}+DN^{2}=(a+b)^{2}-b^{2}=a(a+2b).
Следовательно, AN=\sqrt{a(a+2b)}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 198, с. 23