11393. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Периметры треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
равны. Докажите, что ABCD
— ромб.
Верно ли это утверждение для любой внутренней точки четырёхугольника ABCD
, отличной от O
?
Ответ. Нет.
Решение. Из условия задачи следует, что
OA+AB=BC+OC~\mbox{и}~OC+CD=AD+OA.
Предположим, что AB\lt BC
. Тогда из первого равенства получаем, что OC\lt OA
, поэтому точки A
и C
лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра к отрезку AC
(см. задачу 1798). Значит, CD\lt AD
, и
OC+CD\lt AD+OA.
Противоречие. Аналогично для предположения, что AB\gt BC
. Значит, AB=BC
.
Аналогично докажем, что CD=AD
, BC=CD
и AD=AB
. Следовательно, ABCD
— ромб. Что и требовалось доказать.
Из примера, приведённого на рисунке, видно, что O
нельзя заменить на любую внутреннюю точку четырёхугольника ABCD
.
Источник: Румынские математические олимпиады. — 1978
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 6, задача 4 (1981, с. 74), с. 177