11401. В треугольнике ABC
угол A
равен 120^{\circ}
. Прямые, содержащие высоты BM
и CN
треугольника ABC
, пересекаются в точке H
. Точка O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
а) Докажите, что AH=AO
.
б) Найдите площадь треугольника AHO
, если BC=\sqrt{15}
, \angle ABC=45^{\circ}
.
Ответ. \frac{5}{4}
.
Решение. а) Из точек M
и N
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, AH
— диаметр окружности, описанной около треугольника AMN
. Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом |\cos\angle BAC|=|\cos120^{\circ}|=\frac{1}{2}
(см. задачу 19), значит, радиус описанной окружности треугольника ABC
равен диаметру окружности, описанной около треугольника AMN
, т. е. OA=AH
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть AP
— высота треугольника ABC
. Высоты треугольника ABC
пересекаются в одной точке, значит, прямая AP
проходит через точку H
. Из прямоугольного треугольника ABP
находим, что \angle BAP=45^{\circ}
, поэтому \angle BAH=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin120^{\circ}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\sqrt{5}.
Центральный угол AOB
вдвое больше вписанного угла ACB
, значит,
\angle AOB=2\angle ACB=2(180^{\circ}-120^{\circ}-45^{\circ})=30^{\circ}.
Из равнобедренного треугольника AOB
находим, что
\angle BAO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=75^{\circ},
Значит,
\angle OAH=360^{\circ}-\angle BAH-\angle BAO=360^{\circ}-135^{\circ}-75^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle AHO}=\frac{1}{2}OA\cdot AH\sin\angle OAH=\frac{1}{2}R^{2}\cdot\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{4}.
