11402. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Отрезки A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
и C_{1}A_{1}
разбили треугольник ABC
на четыре треугольника равной площади. Докажите, что A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон треугольника ABC
.
Решение. Обозначим \frac{AC_{1}}{AB}=\alpha
, \frac{BA_{1}}{BC}=\beta
, \frac{CB_{1}}{CA}=\gamma
. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда
S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{AC_{1}}{AB}\cdot\frac{AB_{1}}{AC}S=\alpha(1-\gamma)S=\frac{1}{4}S
(см. задачу 3007), откуда \alpha(1-\gamma)=\frac{1}{4}
. Аналогично,
\beta(1-\alpha)=\frac{1}{4},~\gamma(1-\beta)=\frac{1}{4}.
Первый способ. Из первого равенства получаем, что
1-\gamma=\frac{1}{4\alpha},~\mbox{или}~\gamma=1-\frac{1}{4\alpha}=\frac{4\alpha-1}{4\alpha},
а из второго —
\beta=\frac{1}{4(1-\alpha)}.
Подставив найденные выражения для \gamma
и \beta
в третье равенство, получим уравнение
\frac{(4\alpha-1)(3-4\alpha)}{4\alpha(1-\alpha)}=1,~\mbox{или}~(2\alpha-1)^{2}=0,
откуда \alpha=\frac{1}{2}
. Аналогично, \beta=\frac{1}{2}
и \gamma=\frac{1}{2}
. Следовательно, A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон треугольника ABC
.
Второй способ. Перемножив эти три равенства, получим
\alpha\beta\gamma(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=\frac{1}{64}.
По неравенству о среднем геометрическом и среднем арифметическом
\alpha(1-\alpha)\leqslant\left(\frac{\alpha+(1-\alpha)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},
причём равенство достигается при \alpha=1-\alpha
, т. е. при \alpha=\frac{1}{2}
. Аналогично,
\beta(1-\beta)\leqslant\frac{1}{4},~\gamma(1-\gamma)\leqslant\frac{1}{4},
причём равенства достигаются при \beta=\gamma=\frac{1}{2}
. Следовательно, A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон треугольника ABC
.