11405. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
, BCD
, CDA
и DAB
, равны. Докажите, что равны диагонали четырёхугольника.
Решение. Пусть S
— площадь четырёхугольника, P
— периметр, r
— радиус окружностей, вписанных в перечисленные треугольники. Тогда (см. задачу 452)
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CDA}=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)+\frac{1}{2}r(CD+DA+AC)=
=\frac{1}{2}r(AB+BC+CD+DA)+rAC=\frac{1}{2}rP+rAC.
Аналогично,
S=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle DAB}=\frac{1}{2}rP+rBD.
Из равенства
\frac{1}{2}rP+rAC=\frac{1}{2}rP+rBD
следует, что AC=BD
.