11409. Может ли в остроугольном треугольнике биссектриса быть в два раза больше высоты, проведённой из той же вершины?
Ответ. Не может.
Решение. Пусть CH
и CL
— соответственно высота и биссектриса остроугольного треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
, \alpha\gt\beta
.
Предположим, что CL=2CH
. Тогда в прямоугольном треугольнике CLH
гипотенуза вдвое больше катета. Значит, \angle LCH=60^{\circ}
, а так как \angle LCH=\frac{\alpha-\beta}{2}
(см. задачу 1106), то \frac{\alpha-\beta}{2}=60^{\circ}
, откуда
\alpha=120^{\circ}+\beta\gt90^{\circ},
что невозможно, так как треугольник ABC
остроугольный.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2002, № 252, с. 72, 8 класс, задача 2