11411. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BK
и на сторонах AB
и BC
взяты соответственно такие точки M
и N
, что \angle AKM=\angle CKN=\frac{1}{2}\angle ABC
. Докажите, что прямая AC
касается окружности, описанной около треугольника MBN
.
Решение. Обозначим
\angle AKM=\angle ABK=\angle CBK=\angle CKN=\alpha.
Тогда
\angle MKN=180^{\circ}-\angle AKM-\angle CKN=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-\angle MBN,
значит, около четырёхугольника BMKN
можно описать окружность. Следовательно, точка K
лежит на окружности, описанной около треугольника MBN
.
Поскольку
\angle AKM=\angle ABK=\angle MBK,
прямая AK
(а значит, AC
) — касательная к этой окружности (см. задачу 144).