11413. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник. На луче DC
отложен отрезок DA_{1}
, равный DA
, а на луче BA
— отрезок BC_{1}
, равный BC
. Докажите, что прямая BD
делит отрезок A_{1}C_{1}
пополам.
Указание. См. примечание к задаче 5152.
Решение. Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда по свойству вписанного четырёхугольника
\angle BCD=180^{\circ}-\alpha.
Пусть BP
и DQ
— высоты треугольников BDA_{1}
и BDC_{1}
. Тогда
S_{\triangle BDA_{1}}=\frac{1}{2}DA_{1}\cdot BP=\frac{1}{2}AD\cdot BC\sin\angle BCP=\frac{1}{2}AD\cdot BC\sin\alpha,
S_{\triangle BDC_{1}}=\frac{1}{2}BC_{1}\cdot DQ=\frac{1}{2}BC\cdot AD\sin\angle DAQ=\frac{1}{2}BC\cdot AD\sin\alpha.
Значит, треугольники BDA_{1}
и BDC_{1}
равновелики.
Пусть прямая BD
пересекает отрезок A_{1}C_{1}
в точке M
, а A_{1}E
и C_{1}F
— высоты треугольников BDA_{1}
и BDC_{1}
, опущенные на сторону BD
. Тогда A_{1}E=C_{1}F
как высоты равновеликих треугольников с общей стороной BD
. Из равенства прямоугольных треугольников A_{1}EM
и C_{1}FM
по катету и противолежащему углу следует равенство их гипотенуз A_{1}M
и C_{1}M
. Следовательно, M
— середина отрезка A_{1}C_{1}
.