11422. Серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC
пересекает сторону AC
в точке D
, а биссектрису угла ABD
в точке K
. Докажите, что точки A
, B
, C
, K
лежат на одной окружности.
Решение. Треугольники BKD
и CKD
симметричны относительно серединного перпендикуляра к стороне BC
, поэтому они равны. Тогда
\angle ABK=\angle KBD=\angle KCD=\angle ACK.
Из точек B
и C
, лежащих по одну сторону от прямой AK
, отрезок AK
виден под одним и тем же углом, следовательно, точки A
, B
, C
, K
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2006, № 384, с. 89, 10 класс, задача 4