11428. В треугольнике ABC
проведены медианы AM
и BN
. Известно, что \angle MAC=\angle NBC=30^{\circ}
. Докажите, что треугольник ABC
правильный.
Решение. Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой MN
, отрезок MN
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, M
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, четырёхугольник ANMB
— трапеция с основаниями AB
и MN
. Эта трапеция равнобедренная, так как она вписана в окружность. Значит, CM=MB=NA=CN
, поэтому AC=BC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
Предположим, что \angle ACB\ne60^{\circ}
. Опустим перпендикуляры CK
и CL
на прямые BN
и AM
соответственно. Тогда точка K
отлична от N
, а точка L
— от M
. Из прямоугольных треугольников CBK
и CLA
получаем, что
CK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC=CL.
Значит, прямоугольные треугольники CKN
и CLM
равны по катету и гипотенузе. Тогда CK=\frac{1}{2}BC=CM=CN
, что невозможно, так как CK
— катет, а CN
— гипотенуза прямоугольного треугольника CKN
. Значит, \angle ACB=60^{\circ}
. Следовательно, равнобедренный треугольник ABC
равносторонний.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1994, № 418, с. 94, 11 класс, задача 3