11431. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle BAC=\angle CBD
и \angle ACD=\angle BDA
. Докажите, что AC^{2}=BC^{2}+AD^{2}
.
Решение. Пусть ED
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Обозначим \angle BEC=\angle AED=\theta
.
Поскольку BEC
и CED
— внешние углы треугольников BEA
и AED
соответственно, то
\angle ABD=\angle ABE=\theta-\alpha,~\angle ADB=\angle ADE=\theta-\beta,
поэтому
\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=(\theta-\alpha)+\alpha=\theta,
\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=(\theta-\beta)+\beta=\theta.
По теореме синусов из треугольников ABC
и ADC
получаем
\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin\theta}=\frac{AD}{\sin\beta}=\lambda,
откуда
\sin\theta=\frac{AC}{\lambda},~\sin\alpha=\frac{BC}{\lambda},~\sin\beta=\frac{AD}{\lambda}.
Следовательно (см. задачу 2018),
S_{ABCD}=S_{\triangle DBC}+S_{\triangle DAB}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\theta=\frac{1}{2}BD\cdot BC\sin\alpha+\frac{1}{2}BD\cdot AB\sin\beta~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AC\sin\theta=BC\sin\alpha+AB\sin\beta~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AC\cdot\frac{AC}{\lambda}=BC\cdot\frac{BC}{\lambda}+AB\cdot\frac{AB}{\lambda}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AC^{2}=BC^{2}+AD^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1981
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 7 задача 13 (1984, с. 142), с. 79