11433. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
взяты соответственно точки P
, Q
и R
так, что отрезки AP
, BQ
и CR
пересекаются в одной точке M
. Докажите, что если
S_{\triangle AMQ}=S_{\triangle AMR},~S_{\triangle BMR}=S_{\triangle BMP}~\mbox{и}~S_{\triangle CMP}=S_{\triangle CMQ},
то M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Решение. Обозначим
S_{\triangle AMQ}=S_{\triangle AMR}=S_{1},~S_{\triangle BMR}=S_{\triangle BMP}=S_{2},~S_{\triangle CMP}=S_{\triangle CMQ}=S_{3}.
Тогда (см. задачу 3000)
\frac{AR}{RB}=\frac{S_{1}}{S_{2}}~\mbox{и}~\frac{AR}{RB}=\frac{2S_{1}+S_{3}}{2S_{2}+S_{3}}~\Rightarrow~\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2S_{1}+S_{3}}{2S_{2}+S_{3}}~\Rightarrow
\Rightarrow~2S_{1}S_{2}+S_{1}S_{3}=2S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}~\Rightarrow~S_{1}S_{3}=S_{2}S_{3},
а так как S_{3}\ne0
, то S_{1}=S_{2}
. Значит, \frac{AR}{RB}=1
, т. е. R
— середина стороны AB
. Аналогично, P
— середина BC
и Q
— середина CA
. Следовательно, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1996, № 84, с. 53, 10 класс, задача 4