11434. Биссектрисы AD
, BE
и CF
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Докажите, что если треугольники BOF
и BOD
имеют равные площади, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Точка O
лежит на биссектрисе угла ABC
, поэтому она равноудалена от сторон этого угла, т. е. высоты, равновеликих треугольников BOF
и BOD
, проведённые из общей вершины O
, равны. Значит, равны основания BF
и BD
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}~\mbox{и}~\frac{BF}{FA}=\frac{BC}{AC},
откуда
BD=\frac{BC}{AB+AC}\cdot AB=\frac{ac}{b+c}~\mbox{и}~BF=\frac{AB}{BC+AC}\cdot BC=\frac{ca}{a+b}.
Из равенства \frac{ac}{b+c}=\frac{ca}{a+b}
получаем, что a=c
, т. е. BC=AB
. Разделив первое из этих равенств на второе, получим, что Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.