11436. AA_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AA_{1}C
и CC_{1}A
, равны, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Пусть окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
, вписанные в треугольники соответственно AA_{1}C
и CC_{1}A
, касаются отрезка AC
в точках K_{1}
и K_{2}
. Тогда K_{1}O_{1}O_{2}K_{2}
— прямоугольник, поэтому O_{1}O_{2}\parallel AC
, значит, четырёхугольник AO_{2}O_{1}C
— трапеция.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_{1}
— биссектриса угла CAO_{2}
. Тогда
\angle AO_{1}O_{2}=\angle CAO_{1}=\angle O_{1}AO_{2},
значит, треугольник AO_{1}O_{2}
равнобедренный, O_{1}O_{2}=AO_{2}
. Аналогично, O_{1}O_{2}=CO_{1}
, поэтому трапеция AO_{2}O_{1}C
равнобедренная. Её углы при основании AC
равны (см. задачу 1912), поэтому
\angle BAC=\angle C_{1}AC=2\angle O_{2}AC=2\angle O_{1}CA=\angle A_{1}CA=\angle BCA.
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1997, № 113, с. 56, 10 класс, задача 3