11439. Внутри треугольника ABC
лежит точка D
. Для какой точки X
на плоскости сумма расстояний XA+XB+XC+XD
наименьшая?
Ответ. Для точки X
, совпадающей с D
.
Решение. Проведём из точки D
три луча, продолжающих отрезки AD
, CD
и BD
. Эти лучи делят плоскость на три части (в одной лежит вершина A
, в другой — B
, в третьей — C
). Точка X
лежит в одной из частей — пусть там, где A
(другие случаи аналогичны). Тогда D
лежит в треугольнике BXC
, поэтому XB+XC\geqslant DB+DC
(см. задачу 3502), и XA+XD\geqslant DA
по неравенству треугольника. Первое неравенство обращается в равенство лишь для X=D
, т. е. для других X
сумма больше.