11440. Вершина E
квадрата BFGE
лежит на стороне AD
квадрата ABCD
. Докажите, что центр одного квадрата лежит на диагонали другого.
Решение. Пусть I
и J
— проекции точек G
и F
на прямые AD
и AB
соответственно, в а H
— точка пересечения прямых GI
и FJ
. Тогда AJHI
— квадрат (прямоугольные треугольники ABE
, JFB
, HGF
и IEG
равны по гипотенузе и острому углу). Вершины квадрата BFGE
лежат на сторонах квадрата AGHI
, значит, центры этих квадратов совпадают (см. задачу 1057).
Пусть K
— общий центр этих квадратов. У квадратов ABCD
и AJHI
общий угол A
, поэтому точка K
лежит на луче AH
. При этом BJ=AE\lt AD=AB
, значит, CH\lt AC
, а AC\gt\frac{1}{2}AH=AK
. Следовательно, точка K
лежит на отрезке AC
.