11446. На листе бумаги отмечены вершины правильного пятиугольника. Затем две соседние вершины стёрли. Как восстановить исходный пятиугольник, имея лишь обычную двустороннюю линейку без делений?
Решение. Заметим, что с помощью двусторонней линейки легко построить биссектрису данного угла с вершиной O
. Для этого приложим линейку к сторонам угла и проведём две прямые, пересекающиеся во внутренней точке M
угла. Тогда луч OM
— биссектриса данного угла. Действительно, если MP
и MQ
— перпендикуляры, опущенные из точки M
на стороны угла, то MP=MQ
(ширина линейки), т. е. точка M
равноудалена от сторон угла. Следовательно, OM
— биссектриса этого угла (см. задачу 1138).
Пусть ABCDE
— правильный пятиугольник, а точка F
лежит на продолжении стороны DC
за вершину C
. Тогда
\angle BCA=\angle ACE=\angle ECD=36^{\circ},~\angle BCF=\angle BCE=72^{\circ}.
Значит, CB
— биссектриса угла ECF
, а CA
— биссектриса угла BCE
. Аналогично, если K
— точка на продолжении стороны DE
за вершину E
, то EA
— биссектриса угла KEC
, EB
— биссектриса угла AEC
.
Предположим, что нужно восстановить стёртые вершины A
и B
. Строим последовательно биссектрисы углов KEC
, AEC
, ECF
и ECB
. Точками пересечения соответствующих пар построенных прямых и будут A
и B
.