11448. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана точка E
, а на отрезке BE
— точка D
. Известно, что CE=CD=BE
, BD=AE
. Докажите, что \angle B\gt60^{\circ}
.
Решение. Заметим, что \angle CDE=\angle DEC
, следовательно, равны также углы, смежные с этими углами. Тогда треугольники CDB
и AEB
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, CB=AB
и тогда \angle BCA=\angle BAC
. Луч BE
проходит между сторонами угла ABC
, так как этот луч пересекает отрезок AC
с концами на сторонах угла, поэтому
\angle ABC\gt\angle EBC=\angle BCA.
Таким образом, \angle B
—наибольший угол в треугольнике ABC
. Следовательно, \angle B\gt60^{\circ}
(см. задачу 1197).
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2014, первый тур, 8 класс, задача 13