11449. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
. Известно, что \angle ABC=2\angle ACB
. Точка X
— середина стороны AB
, а точка Y
на стороне BC
такова, что CY=AX
. Докажите, что прямая XY
касается описанной окружности треугольника LCY
.
Решение. Поскольку
\angle ABL=\angle LBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\angle ACB,~BX=AX=CY,~BL=LC,
треугольники LBX
и LCY
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle BXL=\angle LYC=180^{\circ}-\angle LYB,
поэтому четырёхугольник BXLY
вписанный. Значит,
\angle XYL=\angle XBL=\angle YCL.
Тогда прямая YX
образует с хордой LY
угол, равный вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Следовательно, прямая XY
касается окружности, описанной около треугольника LCY
(см. задачу 144).