11450. На сторонах AB
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
выбраны точки M
и N
соответственно. Отрезки MD
и ND
пересекают диагональ AC
в точках P
и Q
соответственно. Оказалось, что четырёхугольники BMPC
, BNQA
и AMNC
вписанные. Докажите, что \angle BDN=\angle BDM
.
Решение. Четырёхугольники BMPC
и AMNC
вписанные, поэтому
\angle AMP=180^{\circ}-\angle PMB=\angle BCP,
\angle NMB=180^{\circ}-\angle AMN=\angle ACN.
Значит, \angle AMP=\angle NMB
.
Пусть K
— точка на продолжении отрезка PM
за точку M
. Тогда
\angle BMK=\angle AMP=\angle NMB,
т. е. MB
— биссектриса внешнего угла треугольника MDN
. Аналогично, NB
— тоже биссектриса внешнего угла треугольника MDN
. Биссектрисы двух внешних углов и биссектриса третьего угла треугольника пересекаются в одной точке — центре вневписанной окружности (см. задачу 1192). Следовательно, DB
— биссектриса угла MDN
. Что и требовалось доказать.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2014, первый тур, 10 класс