11461. В треугольник ABC
вписана окружность \omega
. Известно, что \angle A=43^{\circ}
. Биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
пересекаются в точке D
. Из точки D
проведена касательная DE
к окружности \omega
. Найдите \angle BEC
.
Ответ. 111{,}5^{\circ}
.
Решение. Обозначим через I
центр вписанной окружности треугольника ABC
. Биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
пересекаются в точке D
— центре вневписанной окружности треугольника ABC
, следовательно, точка D
лежит на биссектрисе AI
.
Заметим, что следующие углы, опирающиеся на отрезок ID
, являются прямыми: \angle IED=90^{\circ}
как угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, \angle IBD=90^{\circ}
и \angle ICD=90^{\circ}
как углы между биссектрисами смежных углов (см. задачу 937). Таким образом, точки I
, E
, B
, D
, C
лежат на одной окружности. Значит (см. задачу 4770),
\angle BEC=\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+21{,}5^{\circ}=111{,}5^{\circ}.