11466. В треугольнике ABC
на стороне AB
нашлась такая точка X
, что 2BX=BA+BC
. Точка Y
симметрична центру I
вписанной окружности треугольника ABC
относительно точки X
. Докажите, что YI_{B}
перпендикулярно AB
, где I_{B}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
.
Решение. Обозначим длины отрезков касательных из вершины A
до точек касания со вписанной окружностью через x
, длины отрезков из вершины B
до точек касания со вписанной окружностью через y
, а из вершины C
— через z
. Тогда
AB=x+y,~BC=y+z,~CA=z+x.
Значит, x+y+z=p
— полупериметр треугольника ABC
.
Пусть D
— точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны BA
, а E
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
. Тогда I_{B}D
перпендикулярно AB
, поэтому достаточно показать, что DY
перпендикулярно AB
(в этом случае точки I_{B}
, D
и Y
лежат на одной прямой и она перпендикулярна AB
).
Для этого проверим, что треугольники XDY
и XIE
равны по двум сторонам и углу между ними (этого достаточно, поскольку \angle IEX=90^{\circ}
). Действительно, IX=XY
по условию, \angle IXE=\angle YXD
как вертикальные, поэтому нужно лишь проверить равенство сторон XD
и XE
. Для этого выразим их длины через x
, y
и z
:
XE=BX-BE=\frac{1}{2}(BA+BC)-BE=\frac{1}{2}((x+y+z)+y)-y=\frac{x+z}{2},
DE=BD-BE=p-y=(x+y+z)-y=x+z=2XE
(см. задачу 1750). Следовательно, XD=XE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 9 класс