11475. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точка M
— середина стороны AD
, CM\parallel AB
, AD=BD
и 3\angle BAC=\angle ACD
. Найдите угол ACB
.
Ответ. \angle ACB=90^{\circ}
.
Указание. Отметьте середину стороны AB
.
Решение. Заметим, что \angle BAC=\angle ACM
, поэтому
\angle DCM=\angle ACD-\angle ACM=2\angle ACM.
Обозначим через N
середину отрезка AB
. Тогда DN
— медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABD
. Точка C
лежит на прямой, содержащей среднюю линию этого треугольника. Эта прямая — серединный перпендикуляр отрезку DN
, следовательно, CD=CN
. Таким образом, треугольник NCD
равнобедренный и CM
— его биссектриса. Тогда
\angle NCM=\angle DCM=2\angle ACM,
поэтому
\angle NCA=\angle ACM=\angle NAC.
Значит, треугольник ANC
равнобедренный и NC=AN=NB
. Следовательно (см. задачу 1188), \angle ACB=90^{\circ}