11481. В треугольнике ABC
проведена высота BD
, \angle ABC=100^{\circ}
. На отрезках AD
и CD
выбраны точки X
и Y
так, что XY=\frac{1}{2}AC
. На сторонах AB
и BC
выбраны точки Z
и T
соответственно так, что AX=XZ
и CY=YT
. Найдите \angle ZDT
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Решение. Поскольку AX+CY=XY
, на отрезке XY
можно отметить такую точку P
, что XP=AX
и YP=CY
. В треугольнике AZP
медиана ZX
равна половине стороны AP
, поэтому он прямоугольный (см. задачу 1188), \angle AZP=90^{\circ}
. Аналогично, \angle CTP=90^{\circ}
. Таким образом, точки T
и Z
лежат на окружности с диаметром BP
. На ней же лежит и точка D
(так как угол BDP
также прямой). Следовательно, четырёхугольник BZDT
вписанный, и потому
\angle ZDT=180^{\circ}-\angle ZBT=80^{\circ}.