11500. На стороне AC
треугольника ABC
взяли такую точку D
, что угол BDC
равен углу ABC
. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC
и ABD
, если BC=1
?
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников ABC
и DBC
соответственно (рис. 1), а M
— середина стороны BC
. Треугольники ABC
и BDC
подобны, так как у них угол C
общий, а два других угла равны по условию. Значит, оставшиеся углы этих треугольников BAC
и DBC
также равны. Это означает, что описанная окружность треугольника ABD
касается прямой BC
(см. задачу 144), а радиус O_{2}B
перпендикулярен касательной BC
.
Кроме того, точка O_{1}
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Поэтому отрезок MB
длины \frac{1}{2}
является ортогональной проекцией отрезка O_{1}O_{2}
на прямую BC
. Но проекция не длиннее отрезка, поэтому |O_{1}O_{2}|\geqslant\frac{1}{2}
, причём равенство достигается, когда угол ABC
равен 90^{\circ}
, так как в этом случае O_{1}
— середина стороны AC
, а O_{2}
— середина стороны AB
, O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника ABC
.
Второй способ. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC
остроугольный (рис. 2). Остальные случаи разбираются аналогично.
По теореме о касательной и секущей AC\cdot DC=1
. Далее,
\angle BO_{1}C=2\angle BAC=\angle BO_{2}D,
следовательно, подобны равнобедренные треугольники DBO_{2}
и CBO_{1}
, поэтому равны углы при их основаниях. Поскольку O_{1}O_{2}
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, получаем
\angle O_{1}O_{2}B=\frac{1}{2}\angle AO_{2}B=\frac{1}{2}(360^{\circ}-2\angle ADB)=180^{\circ}-\angle ADB=\angle BDC.
Кроме того,
\angle O_{2}BO_{1}=\angle O_{2}BD+\angle DBO_{1}=\angle O_{1}BC+\angle DBO_{1}=\angle DBC.
Следовательно, треугольники O_{2}O_{1}B
и DBC
подобны. Из подобия получаем
O_{2}O_{1}=DC\cdot\frac{BO_{1}}{BC}=DC\cdot BO_{1}=\frac{1}{2}DC\cdot2BO_{1}=
=\frac{1}{2}DC(AO_{1}+O_{1}C)\geqslant DC\cdot AC=\frac{1}{2},
причём неравенство обращается в равенство, когда точка O_{1}
лежит на отрезке AC
, т. е. треугольник ABC
прямоугольный.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2020, LXXXIII, 11 класс, задача 4