11501. В треугольнике ABC
(AB\gt BC
) на стороне AB
взята точка P
, для которой BP=BC
. Продолжение биссектрисы BM
пересекает описанную около треугольника ABC
окружность в точке N
. Докажите, что точки A
, P
, M
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle BCA=\gamma
. Треугольники BMP
и BMC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle BPM=\angle BCM=\angle BCA=\gamma.
Вписанные углы BNA
и BCA
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MNA=\angle BNA=\angle BCA=\gamma.
Значит,
\angle APM=180^{\circ}-\angle BPM=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\angle MNA.
Тогда APMN
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 49). Следовательно, точки A
, P
, M
и N
лежат на одной окружности.