11502. В треугольнике ABC
, вписанном в окружность, AB\lt AC
. На стороне AC
отмечена такая точка D
, что AD=AB
. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку DC
делит пополам дугу BC
, не содержащую точки A
.
Решение. Треугольник CED
подобен равнобедренному треугольнику BAD
, значит, треугольник CED
тоже равнобедренный с основанием CD
. Его высота, проведённая из вершины E
является и серединным перпендикуляром к отрезку CD
, и биссектрисой угла BEC
. Поскольку биссектриса вписанного угла проходит через середину дуги BC
, на которую этот угол опирается (см. задачу 430), отсюда следует утверждение задачи.