11503. Окружности S_{1}
и S_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно пересекаются в точках A
и B
. Луч O_{1}A
пересекает окружность S_{2}
в точке M
, луч O_{2}A
пересекает окружность S_{1}
в точке N
, а прямая MN
вторично пересекает эти окружности в точках E
и F
. Докажите, что AE=AF
.
Решение. Пусть точки E
и F
лежат на окружностях S_{1}
и S_{2}
соответственно. Поскольку треугольники ANO_{1}
и AMO_{2}
равнобедренные с основаниями AN
и AM
,
\angle O_{1}NO_{2}=\angle O_{1}NA=\angle O_{1}AN=\angle O_{2}AM=\angle O_{2}MA=\angle O_{2}MO_{1}.
Значит, точки O_{1}
, O_{2}
, M
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Тогда
\angle ANE=\frac{1}{2}\angle AO_{1}E=\frac{1}{2}\angle MO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle AO_{1}B,
т. е. вписанный угол ANE
равен половине центрального угла AO_{1}B
. Значит, AE=AB
как хорды, стягивающие равные дуги. Аналогично, AF=AB
. Следовательно, AE=AF
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1997-98, 10 класс