11508. Дан остроугольный треугольник ABC
. На продолжениях: стороны AC
за точку C
, CB
за точку B
, BA
за точку A
взяты соответственно точки B_{1}
, A_{1}
и C_{1}
так, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
. Докажите, что ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Достаточно доказать, что HA=HB=HC
.
По условию задачи
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAC,~\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle ABC,~\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle ACB.
Тогда
\angle B_{1}HC_{1}=180^{\circ}-\angle B_{1}A_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle BAC=\angle B_{1}AC_{1},
значит, точки A
, H
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Вписанные в эту окружность углы B_{1}C_{1}H
и B_{1}AH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle B_{1}C_{1}H=\angle B_{1}AH=\angle CAH.
Аналогично,
\angle A_{1}B_{1}H=\angle A_{1}CH=\angle BCH,
а так как \angle A_{1}C_{1}H=\angle A_{1}B_{1}H
, то
\angle ACH=\angle ACB-\angle A_{1}CH=\angle A_{1}C_{1}B_{1}-\angle A_{1}B_{1}H=
=\angle A_{1}C_{1}B_{1}-\angle A_{1}C_{1}H=\angle B_{1}C_{1}H=\angle CAH.
Значит, треугольник AHC
равнобедренный, HA=HC
. Аналогично, HA=HB
. Что и требовалось доказать.
Автор: Карасёв Р. Н.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1998-1999, 11 класс