11520. Восстановите с помощью циркуля и линейки треугольник ABC
по трём точкам: D
, E
, M
, где D
и E
— середины высот AH
и CP
треугольника ABC
, а M
— середина стороны AC
.
Указание. См. задачу 1232.
Решение. Предположим, что искомый треугольник построен, D
— середина его высоты AH
, P
— середина высоты CP
. Тогда MD
и ME
— средние линии прямоугольных треугольников AHB
и APB
, поэтому AB\parallel ME
и CH\parallel MD
. Отсюда вытекает следующее построение.
Через данные точки D
и E
проводим прямые l_{1}
и l_{2}
, соответственно перпендикулярные DM
и EM
. Через точку M
, лежащую внутри одного из углов образованных прямыми l_{1}
и l_{2}
, проводим прямую l_{3}
, отрезок которой, заключённый внутри этого угла, делился бы точкой M
пополам (см. задачу 1232). Тогда точки пересечения прямой l_{3}
с прямыми l_{1}
и l_{2}
соответственно, есть искомые вершины A
и B
искомого треугольника, а вершина B
есть точка пересечения прямых, проведённых через A
и B
параллельно ME
и MD
соответственно.