11527. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника. Докажите неравенство
a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\leqslant2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).
Решение. Пусть в треугольнике есть две равные стороны, например, a=b
. Тогда неравенство примет вид
2a^{4}+c^{4}+a^{2}(2a+c)\leqslant2(a^{4}+2a^{2}c^{2})~\Leftrightarrow~c^{4}+2a^{3}c\leqslant3a^{2}c^{2}~\Leftrightarrow~c^{3}+2a^{3}\leqslant3a^{2}c,
но по неравенству о средних
c^{3}+2a^{3}=c^{3}+a^{3}+a^{3}\leqslant3\sqrt[{3}]{{a^{6}c^{3}}}=3a^{2}c,
причём равенство достигается, если a=c
, т. е. для равностороннего треугольника. Следовательно, исходное неравенство верно.
Пусть теперь треугольник разносторонний. По неравенству треугольника a+b\gt c
. Возведя это неравенство в квадрат и умножив на положительное число (a-b)^{2}
, получим
(a+b)^{2}(a-b)^{2}\gt c^{2}(a-b)^{2}~\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})^{2}\gt c^{2}(a^{2}-2ab+b^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}\gt a^{2}c^{2}-2abc^{2}+b^{2}c^{2}.
Аналогично,
b^{4}-2b^{2}c^{2}+c^{4}\gt a^{2}b^{2}-2bca^{2}+a^{2}c^{2},
a^{4}-2a^{2}c^{2}+c^{4}\gt a^{2}b^{2}-2acb^{2}+b^{2}c^{2}.
Сложив эти три неравенства и разделив на 2, получим требуемое.
Примечание. Умножив неравенство (a+b-c)(a-c-b)(b+c-a)\geqslant abc
(см. задачу 6869) на положительное число a+b+c
и раскрыв скобки, получим требуемое, так как
-(a+b+c)(a+b-c)(a-c-b)(b+c-a)=
=-((a+b)^{2}-c^{2})((a-b)^{2}-c^{2})=
=-((a-b)^{2}(a+b)^{2}-(a+b)^{2}c^{2}_(a-b)^{2}c^{2}+c^{4})=
=-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}.