11530. Точки M
и N
— середины сторон соответственно AB
и BC
треугольника ABC
. На продолжении отрезка CM
за точку M
отмечена точка D
. Оказалось, что BC=BD=2
и AN=3
. Докажите, что \angle ADC=90^{\circ}
.
Решение. Обозначим через K
точку пересечения медиан AN
и CM
. Тогда KC=2KM
и AK=2KN
, а так как AN=3
, то KN=1
. В треугольнике BKC
медиана, проведённая к стороне BC
, равна половине BC
, поэтому \angle BKC=90^{\circ}
(см. задачу 1188), т. е. BK
— высота равнобедренного треугольника BCD
(BD=BC
). Значит, BK
— его медиана, поэтому DK=KC=2KM
, откуда KM=\frac{1}{2}DK=DM
. Диагонали четырёхугольника ADBK
делятся точкой M
пересечения пополам, значит, ADBK
—параллелограмм. Тогда BK\parallel AD
, а так как BK\perp CD
, то
\angle ADC=\angle BKD=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.