11532. Точка N
— середина стороны BC
треугольника ABC
, в котором \angle ACB=60^{\circ}
. Точка M
на стороне AC
такова, что AM=BN
. Точка K
— середина отрезка BM
. Докажите, что AK=KC
.
Решение. Первый способ. Достроим треугольник MCN
до параллелограмма NCML
. В треугольнике AML
известно, что
LM=NC=BN=AM,~\angle AML=\angle BCM=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник AML
равносторонний. Отсюда
AL=NC,~\angle ALK=\angle ALM+\angle NLM=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}=\angle KNC.
Кроме того, отрезок LM
параллелен и равен отрезку BN
, поэтому BNML
— параллелограмм, а K
— точка пересечения его диагоналей. Значит, LK=KN
. Тогда треугольники ALK
и CNK
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AK=KC
.
Второй способ. Достроим треугольник AMB
до параллелограмма AMTB
. Тогда K
— точка пересечения его диагоналей. Из параллельности \angle CBT=\angle BCA=60^{\circ}
. Кроме того,
BT=AM=BN=\frac{1}{2}BC,
значит, треугольник BNT
равносторонний. Тогда TN=BN=\frac{1}{2}BC
, а треугольник BTC
прямоугольный с прямым углом при вершине T
(см. задачу 1109). Тогда TC\perp BT
, а так как AC\parallel BT
, то треугольник ACT
тоже прямоугольный, и его медиана CK
равна половине гипотенузы AT
(см. задачу 1109), т. е. равна AK
. Что и требовалось доказать.