11537. Внутри трапеции ABCD
(BC\parallel AD
), где AD=2BC
, взята точка F
, для которой AB=FB
. Точка M
— середина отрезка FD
. Докажите, что CM\perp FA
.
Решение. Первый способ. Пусть N
— середина AF
. Отрезок NM
— средняя линия треугольника AFD
, поэтому NM\parallel AD\parallel BC
и NM=\frac{1}{2}AD=BC
. Значит, NBCM
— параллелограмм, поэтому BN\parallel CM
. С другой стороны, отрезок BN
— медиана равнобедренного треугольника ABF
, поэтому BN\perp AF
. Следовательно, CM\perp AF
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке K
. Из условия AD=2BC
следует, что BC
— средняя линия треугольника AKD
. Поэтому KC=CD
. Тогда CM
— средняя линия треугольника KDF
, поэтому CM\parallel KF
. С другой стороны, BF=AB=BK
, т. е. медиана FB
треугольника AFK
равна половине стороны AK
. Значит, треугольник AFK
прямоугольный (см. задачу 1188), KF\perp AF
. Следовательно, CM\perp AF
. Что и требовалось доказать.