11540. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
равны и пересекаются в точке K
. Внутри треугольников AKD
и BKC
выбрали точки P
и Q
соответственно так, что \angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ
. Докажите, что прямая PQ
параллельна биссектрисе угла AKD
.
Решение. Из равенства углов KAP
и KCQ
следует параллельность прямых CQ
и AP
, а из равенства углов KDP
и KBQ
— параллельность прямых BQ
и DP
.
Пусть BX
и CY
— перпендикуляры, опущенные из B
и C
на DP
и AP
соответственно. Тогда прямоугольные треугольники BDX
и CAY
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому BX=CY
. Это значит, что расстояния между прямыми CQ
и AP
и между прямыми BQ
и DP
равны. Значит, прямые AP
, BQ
, CP
и DQ
, пересекаясь, образуют ромб PMQN
, где M
— точка пересечения DP
и CQ
, а N
— точка пересечения прямых BQ
и AP
. По свойству ромба
\angle MQP=\angle NQP=\angle MPQ=\angle NPQ.
Пусть отрезок PQ
пересекает диагонали AC
и BD
в точках U
и V
соответственно. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CUQ=\angle MQU-\angle QCA=\angle MPV-\angle PDB=\angle PVD.
Значит, в треугольнике KUV
углы при основании UV
равны, он равнобедренный, и поэтому биссектриса его внешнего угла при вершине K
параллельна UV
(см. задачу 1174). Что и требовалось доказать.
Если же точки K
, U
и V
совпадают, то полученное равенство углов сразу говорит, что PQ
— биссектриса угла AKD
.