11546. Диагонали параллелограмма
ABCD
пересекаются в точке
O
. Точка
P
такова, что
DOPC
— тоже параллелограмм (
CD
— его диагональ). Обозначим через
Q
точку пересечения прямых
BP
и
AC
, а через
R
— точку пересечения прямых
DQ
и
CP
. Докажите, что
PC=CR
.
Решение. Поскольку
DOCP
— параллелограмм,
CP=OD=OB
и
CP\parallel OB
. Значит,
BOPC
— тоже параллелограмм, поэтому
QC=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}PD
, а так как
QC\parallel DP
, то
CQ
— средняя линия треугольника
DPR
(см. примечание 1 к задаче 1880). Значит,
C
— середина отрезка
PR
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2016-2017, IX, первый тур дистанционного этапа, задача 4