11552. Могут ли медиана и биссектриса, проведённые из вершины A
остроугольного треугольника ABC
, делить высоту BH
этого треугольника на три равные части?
Ответ. Не могут.
Решение. Допустим, могут. Отметим на высоте BH
такие точки F
и G
, что
BF=FG=GH=\frac{1}{3}BH.
Пусть биссектриса угла A
пересекает BH
в точке K
. Из треугольника ABH
по свойству биссектрисы
\frac{BK}{KH}=\frac{AB}{AH}\gt1,
поэтому точки K
и G
совпадают. Значит, медиана AM
треугольника ABC
проходит через точку F
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть она пересекает прямую AM
в точке T
. Тогда из равенства треугольников TMB
и AMC
получаем, что AC=BT
, а так как треугольник AFH
подобен треугольнику TFB
с коэффициентом \frac{FH}{FB}=2
, то AH=2BT=2AC\gt AC
, что невозможно, так как треугольник ABC
остроугольный, и поэтому точка H
лежит на отрезке AC
(см. задачу 127б).