11554. В трапеции ABCD
точка M
— середина основания AD
. Известно, что \angle ABD=90^{\circ}
и BC=CD
. На отрезке BD
выбрана точка F
, для которой \angle BCF=90^{\circ}
. Докажите, что MF\perp CD
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD
. В нём M
— середина гипотенузы, а значит, AM=MD=BM
(см. задачу 1109). Тогда точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD
. С другой стороны, поскольку BC=CD
, точка C
также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD
. Получаем, что MC\perp BD
.
Поскольку AD\parallel BC
и CF\perp BC
, получаем, что CF\perp AD
. Итак, CF
и DF
—высоты треугольника CMD
. Значит, MF
— тоже высота (см. задачу 1256), что и означает, что MF\perp CD
.
Примечание. Можно показать, что четырёхугольник BCDM
— ромб.
Автор: Чернега Н. В.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2015-2016, VIII, региональный этап, первый день, задача 3