11558. В треугольнике ABC
проведена медиана BM
. Известно, что \angle ABM=40^{\circ}
, а \angle CBM=70^{\circ}
. Найдите отношение AB:BM
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABCD
. Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, поэтому точка M
— точка их пересечения, и BD=2BM
. С другой стороны,
\angle BDA=\angle CBD=70^{\circ},~\angle BAD=180^{\circ}-\angle BDA-\angle ABD=70^{\circ}=\angle BDA,
откуда AB=BD=2BM
. Следовательно,
AB:BM=2BM:BM=2.
Второй способ. Заметим, что BC
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABM
. Поэтому (см. задачу 1645)
AB:BM=AC:CM=2.