11563. Диагонали AD
и BE
выпуклого пятиугольника ABCDE
пересекаются в точке P
. Известно, что AC=CE=AE
, \angle APB=\angle ACE
и AB+BC=CD+DE
. Докажите, что AD=BE
.
Решение. По условию треугольник ACE
равносторонний, поэтому \angle APB=\angle ACE=60^{\circ}
. Положим \varphi=\angle BEA
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DAE=\angle PAE=\angle APB-\angle BEA=60^{\circ}-\varphi,
откуда
\angle CAD=\angle CAE-\angle DAE=60^{\circ}-(60^{\circ}-\varphi)=\varphi.
При повороте на 120^{\circ}
относительно центра треугольника ACE
, переводящем A
в E
, точка E
перейдёт в C
, точка C
— в точку A
, луч AD
перейдёт в луч EB
, а точка D
— в такую точку F
, что
EF=AD,~AF+FC=CD+DE=AB+BC.
Заметим, что если EF\lt EB
, то AF+FC\lt AB+BC
(см. задачу 3502). Аналогично, если EF\gt EB
, то AF+FC\gt AB+BC
. Следовательно, AD=EF=EB
.