11568. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
равны и пересекаются в точке O
. Точка P
внутри треугольника AOD
такова, что CD\parallel BP
и AB\parallel CP
. Докажите, что точка P
лежит на биссектрисе угла AOD
.
Решение. Поскольку AB\parallel CP
, площади треугольников APC
и BPC
равны. Поскольку CD\parallel BP
, площади треугольников BPC
и BPD
равны. Значит, площади треугольников APC
и BPD
равны, а так как AC=BD
, то равны и высоты этих треугольников, опущенные на стороны AC
и BD
соответственно. Это означает, что точка P
, лежащая внутри угла AOD
, равноудалена от его сторон. Следовательно, она лежит на его биссектрисе (см. задачу 1138). Что и требовалось доказать.