11571. Точка
E
— середина основания
AD
трапеции
ABCD
. Отрезки
BD
и
CE
пересекаются в точке
F
. Известно, что
AF\perp BD
. Докажите, что
BC=FC
.
Решение. Отрезок
FE
— медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника
AFD
, поэтому
FE=\frac{1}{2}AD=ED~\mbox{и}~\angle EDF=\angle DFE

(см. задачу 1109), а так как
EDF
и
CBF
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых
AD
и
BC
, а углы
DFE
и
BFC
равны как вертикальные. Поэтому
\angle CBF=\angle BFC
, откуда
BC=FC
.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2012-2013, V, дистанционный этап, второй тур, задача 3
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, первый тур, 8 класс