11571. Точка E
— середина основания AD
трапеции ABCD
. Отрезки BD
и CE
пересекаются в точке F
. Известно, что AF\perp BD
. Докажите, что BC=FC
.
Решение. Отрезок FE
— медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника AFD
, поэтому
FE=\frac{1}{2}AD=ED~\mbox{и}~\angle EDF=\angle DFE
(см. задачу 1109), а так как EDF
и CBF
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD
и BC
, а углы DFE
и BFC
равны как вертикальные. Поэтому \angle CBF=\angle BFC
, откуда BC=FC
.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2012-2013, V, дистанционный этап, второй тур, задача 3
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, первый тур, 8 класс