11573. В параллелограмме ABCD
со стороной AB=1
точка M
— середина стороны BC
, а угол AMD
равен 90^{\circ}
. Найдите сторону BC
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Проведём медиану MN
в треугольнике AMD
. Четырёхугольник ABMN
— параллелограмм, поскольку противоположные стороны BM
и AN
равны и параллельны. Значит, MN=AB=1
. Медиана MN
вдвое меньше гипотенузы AD
в прямоугольном треугольнике AMD
, поэтому BC=AD=2
.
Второй способ. Продлим отрезок AM
и сторону CD
до пересечения в точке K
. Рассмотрим треугольник ADK
. Отрезок MC
параллелен основанию AD
и равен его половине, поэтому MC
— средняя линия (см. примечание 1 к задаче 1880), AM=MK
и KD=2CD=2
. В рассматриваемом треугольнике медиана DM
совпадает с высотой, поэтому он равнобедренный. Следовательно, AD=2AB=2
.