11582. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, вчетверо короче гипотенузы. Найдите острые углы треугольника.
Ответ. 15^{\circ}
и 75^{\circ}
.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник с прямым углом при вершине C
. Предположим, что BC\gt AC
. Медиана CM
равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109). Высота CH
по условию равна \frac{1}{4}AB
, поэтому в прямоугольном треугольнике CHM
гипотенуза CM
вдвое длиннее катета CH
. Следовательно, \angle CMH=30^{\circ}
, а так как это внешний угол при вершине равнобедренного треугольника BMC
, то
\angle ABC=\angle MBC=\frac{1}{2}\angle CMH=15^{\circ},~\angle BAC=75^{\circ}.
Аналогично для случая, когда BC\lt AC
.